抛物线与几何计算说理（2）——中考备考系列[尖子生之路]

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

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抛物线与几何计算说理（2）

——中考备考系列

【试题3】如图，抛物线

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E．连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t>0）．

（1）求直线BC的函数表达式．

（2）①直接写出P、D两点的坐标（用含的代数式表示，结果需化简）．

②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值．

（3）试探究在点P、Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点．若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【图文解析】

(1)基本题，不做详解.简解如下：分别当y=0和x=0时，代入解析式，得到相应的x的值和y的值，从而得到点A、B和C的坐标分别为：

设直线BC的解析式为y=kx+b,将B和C两点坐标代入，得到关于k、b的方程组，求出k、b的值，从而得到直线BC为：

(2)①如下图示：

②当PQ=PD时，过P点作PH⊥QD于H，如下图示：

根据等腰三角形的性质(三线合一)，有QD=2QH，即x_D=2x_P,即：

(3)在坐标系中，经常通过“斜化直”进行转化，所以可添加如下图所示的辅助线，

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